Вступ
Математика входить до обов’язкової шкільної програми у всіх країнах світу. Кожна дитина шкільного віку вивчає алгебру та геометрію, вчиться вимірювати площу намальованих у зошиті фігур, дізнається значення числа Пі, а старших класах знайомиться з інтегральними рівняннями.
Однак для більшості з нас ці знання так і залишаються теоретичними, абстрактними, які не стосуються ні нашої майбутньої роботи, ні реального життя. У кращому разі ми вважаємо їх корисним інструментом для розвитку розумових здібностей, у гіршому — просто намагаємося якнайшвидше проскочити тест.
Насправді математика інтегрована в наше життя настільки щільно, що становить, по суті, основу будь-якого предмета, яким ми користуємося. З найдавніших часів людство вивчає магію чисел, точок, відрізків. Без математики немає ні фізики, ні хімії, ні економіки, ні соціальних наук.
Алекс Беллос у своїй книзі ставить собі завдання пояснити обивателю, наскільки важлива математика, як вона проникає у всі сфери нашого життя і як її закони керують Всесвітом. Автор розуміє, що не кожен непідготовлений читач може зрозуміти складні формули. Тому книга пояснює ті явища, які можна охопити розумом «нематематика».
У кожному розділі автор розглядає якесь одне математичне явище чи поняття. Спочатку він дає історичну довідку — пояснює, як це поняття з’явилося та розвивалося протягом століть. Потім він досить простою мовою і із застосуванням мінімуму формул пояснює математичну суть. А насамкінець, щоб читач не скучив і не вирішив, що його знову, як у школі, ведуть до галузі абстрактного, автор наводить цілком зрозумілі та логічні приклади того, як дане явище використовується в житті чи впливає на нас.
Наприкінці книги також йдеться про розвиток математичної думки та перспективи математичної науки.
1. Життя та цифри
Іноді ми про це навіть не підозрюємо, але кожен з нас має певне ставлення до цифр і певні відносини з цифрами. Наш мозок, хай і неусвідомлено, відокремлює парні числа від непарних, наділяє числа красою, характером, прихованими смислами.
Так було завжди. Ще в давнину вважалося, що цифра 1 уособлює чоловічий початок, а цифра 2 — жіночий. У кожній цивілізації, особливо Сході, було дуже багато забобонів, що з числами. Числа 3, 5 і 7 мали різні значення у різних міфологіях та традиціях, були то щасливими, то, навпаки, проклятими. Число 4 у багатьох цивілізаціях уособлювало смерть.
Нині символікою чисел та вивченням їхнього впливу на людську свідомість займається наука семіотика. Дослідження, що проводяться фахівцями з семіотики, дозволяють не тільки дізнатися багато нового про людський мозок, підсвідомість і про те, що впливає на розвиток менталітету окремих людей та груп, але й допомагають в оцінці ефективності рекламних кампаній, маркетингових стратегій та правильності брендування товарів.
Наприклад, дослідження дозволяють дійти невтішного висновку, що з господарських товарів вдалим буде бренд, у якому використовується парне число. Четність вселяє уявлення про стабільність та передбачуваність, про те, що товар відповідатиме очікуванням. Непарні числа містять у собі якийсь містичний початок, загадку, недомовленість. Найбільше ця загадковість впадає у вічі (чи, якщо точніше, дає імпульс підсвідомості), коли йдеться про числах, які закінчуються на 1.
Наприклад, знаменита модель джинсів Levi’s 501. Швидше за все, всі погодяться, що 500 у назві моделі звучало б надто повсякденно, не привертало б уваги, тоді як 501 – це число-загадка, число з характером, воно не залишає вас байдужим.
Іншими словами, ми завжди звертаємо увагу на те, чи число ділиться на два. Наша свідомість фіксує це і робить певний висновок.
Ще один цікавий висновок, якого дійшли дослідники, полягає в тому, що круглі числа завжди здаються більше, ніж некруглі, навіть якщо насправді це не так.
Тому, якщо ви, наприклад, продаєте квартиру, краще призначити за неї ціну в 11358256 рублів, ніж 11350000.
Якщо ціна закінчується на 9, наша свідомість зчитує її як знижену, тобто ми спочатку вважаємо, що нам пропонують хорошу угоду. Але є і зворотний бік: ціна, що закінчується на 9, асоціюється з дешевим товаром.
Тому, наприклад, дорогі ресторани нізащо не поставлять ціну на свою страву 399,99 рублів.
Є й безліч інших інструментів та технік, які грають з вашою свідомістю та впливають на те, купите ви товар чи ні. Ось деякі з них:
• Якщо ціна закінчується на ,99 або ,98, ми часто відволікаємось на ці великі числа і забуваємо, які цифри стоять на початку цінника. Додамо до цього підсвідому ідею про те, що ціна з такими останніми цифрами реєструється мозком як вигідна угода — і ви вже придбали товар нітрохи не дешевше, ніж у будь-якому іншому магазині, але вважаєте, що заощадили.
• Якщо прибрати позначення грошових одиниць (руб.) з меню, то цифри перестають сприйматися як ціни, ми ніби абстрагуємося від того, що ці числа відповідають кількості грошей, які нам доведеться діставати з гаманця.
• Те саме відбувається, якщо ціна в меню вказана не в окремому стовпчику, а безпосередньо поруч із найменуванням страви.
• Часто продавці виставляють у вітрину зі знижковими товарами товари за високою ціною, щоби порівняно з ними дешевші виглядали ще дешевше — і тоді насправді знижку можна і не давати, покупцеві все одно здаватиметься, що покупка вигідна.
Іншими словами, цифри мають величезний вплив на наше життя. Можливо, саме тому люди наділяють цифри характеристиками, розрізняють їх за кольорами, із якими вони асоціюються у тому свідомості, чи вибирають улюблені числа. Наш мозок при дотику до цифр працює як решето: якісь цифри він пропускає непоміченими, а якісь застрягають у ньому і викликають емоції. Які саме емоції та як ними керувати – це завдання для фахівців із семіотики. Головне одне: наш мозок завжди, як локатор, націлений на цифри, він реагує на них, навіть якщо ми щиро вважаємо, що математика не має місця в нашому житті.
Проте викликати певні емоції та реакції у людей та впливати на їхню поведінку в магазині — це далеко не єдине, що вміють цифри. Цифри – це цілий світ, який живе за незаперечними законами, і ці закони безпосередньо впливають на всі аспекти нашого життя.
Якщо ви візьмете газету і виділіть усі числа, які побачите на смузі, то найчастішим числом буде 1, а найрідкіснішим — 9. Запам’ятайте це, це чудовий фокус, за допомогою якого ви завжди зможете виграти суперечку.
Наприкінці ХІХ століття один математик зауважив, що у бібліотеці, куди студенти приходили виконувати домашні завдання з математики, найбільш пошарпаними були перші томи логарифмічних таблиць, останні виглядали майже новими. Виходить, студенти набагато частіше під час вирішення завдань використовували логарифмічні таблиці, що починаються з одиниці.
У XX столітті вчені вирішили екстраполювати результати цього спостереження інші групи чисел. Вони аналізували дані перерахунків населення, адресні книги, бейсбольну статистику — результат був той самий. Найчастіша цифра – 1, найрідкісніша – 9. Це явище отримало назву закону Бенфорда , на ім’я вченого, який першим його описав.
Якщо говорити про практичне застосування, варто зазначити, що закон Бенфорда — це перше, що використовують фахівці з розслідування економічних злочинів. Якщо у статистиці чи звітності будь-якої компанії закон Бенфорда порушено — це сигнал, що вказує на те, що дані підтасовані.
Закон Бенфорда працює для будь-якої групи чисел і для будь-яких одиниць вимірювання, чи то долари, кілометри чи градуси. Візьміть випадкову кількість чисел з будь-якої бази даних, і чим більше чисел потрапить у вашу вибірку, тим ближчий результат буде відповідати закону Бенфорда. Закону Бенфорда підпорядковується навіть послідовність Фібоначчі.
При цьому, хоча сам закон легко можна сформулювати в кількох простих реченнях і пояснити навіть дитині, для її доказу було використано ергодичну теорію — найскладнішу комбінацію теорії відносності та статистичної фізики.
Цікаву закономірність можна спостерігати й у текстах книжок. Якщо всі слова в книзі впорядкувати за зменшенням частоти їх використання, то частота кожного слова в такому списку виявиться приблизно пропорційною його порядковому номеру (або рангу цього слова). Наприклад, друге по використаності слово зустрічається приблизно вдвічі рідше, ніж перше, третє – втричі рідше, ніж перше, і так далі.
Ця закономірність називається законом Ципфа . І виходить, що навіть слова, які ми вибираємо, вкладаються у певну математичну закономірність.
На відміну від закону Ципфа, принцип Парето , хоч і має схожу основу, можна застосувати набагато ширше. Більшість із нас із ним уже знайома — це принцип 80/20 , згідно з яким 20% причин мають 80% ефекту. Якщо повернутися до Ципфа з його словами, то можна побачити, що перші 20% слів нашого списку становитимуть близько 80% обсягу всієї книги.
Той самий принцип можна спостерігати і в розподілі багатств (80% грошей належать 20% найбагатших людей), і в розподілі населення по містах (80% міського населення країни проживатиме в 20% найбільших міст), і в розподілі жертв конфліктів (80 % людських життів, втрачених у результаті військових дій, було втрачено в 20% найбільш кривавих і великих воєн). Людська поведінка багато в чому також підпорядковується принципу Парето. Наприклад, коли людина відповідає на листи, що накопичилися в поштовій скриньці, 80% часу у нього займе складання відповідей на 20% листів. Завдяки принципу Парето досі жива кіноіндустрія і працюють книжкові видавництва: і тим, і іншим вдається залишатися на плаву, тому що 80% прибутку вони отримують за 20% знятих блокбастерів або випущених бестселерів.
Єдине, що потрібно пам’ятати під час використання закону Ципфа чи принципу Парето — область їх застосування вкрай широка, але вона не стосується тих даних, у яких можна оперувати середніми величинами. Наприклад, якщо йдеться про людське зростання. Існує поняття середнього зростання, яке можна вивести на підставі статистичних даних — зростання більшості людей відповідатиме цій величині. Тож принцип Парето не працює. Але ви не можете оперувати поняттями на кшталт “середня багата людина” (можна лише вивести середній заробіток серед людей однієї групи) або “середній військовий конфлікт”.
Тепер поговоримо про експонентні закони, які теж мають величезний вплив на наше життя. Щоб було зрозуміло, про що йдеться, наведемо дуже простий приклад.
У знаменитому голлівудському блокбастері Годзілла — це гігантська мавпа, зростання якої в 500 разів більше, ніж зростання звичайної горили. Логічно припустити, що якщо її зростання в 500 разів більше, то це тому, що кістки у неї в 500 разів довші. Однак, це не так. Якби скелет чудовиська збільшувався в порівнянні зі звичайною мавпою так само, як зростання, то кістки просто не витримали б маси тіла. Насправді якщо площа поперечного перерізу об’єкта збільшується пропорційно квадрату висоти, то обсяг збільшується пропорційно кубу. Таким чином, якщо зростання звичайної горили х, то кожне збільшення зростання x2 об’єм тіла буде збільшуватися як x3, щоб підтримати подібний об’єм тіла. Це називається закон масштабування .
Подібні закономірності є й у біології. Наприклад, швидкість обміну речовин у тварини становить приблизно 3/4 маси її тіла. Є й інші пропорції: наприклад, швидкість серцевого ритму також пропорційна масі тіла тощо.
Визначивши ці закономірності, вчені, як і у випадку із законом Бенфорда, вирішили екстраполювати їх на інші галузі науки. Якщо уявити, що живий організм — це транспортна система, то логічний висновок у тому, що транспортна система міста працює за схожою схемою. Виявилося, що це правда: міські інфраструктури в усьому світі також підпорядковуються законам масштабування.
2. Основні поняття математики
Отже, ми вже зрозуміли, що цифри та математичні закони – це не абстракція, а невід’ємна частина будь-якого аспекту нашого життя. Тепер підемо далі і подивимося, які математичні поняття зі шкільної програми є найважливішими для людини.
Трикутник
Розвиток математичної думки почався в давні часи з винаходу найпростішої математичної фігури – трикутника . Прямокутний трикутник, відкритий і описаний греками, перевернув як математику, а й архітектуру, дав поштовх до розвитку астрономії, артилерії, природничих наук. За допомогою трикутника люди навчилися вимірювати відстані та кути. І ці знання були актуальні багато століть після зникнення Стародавню Грецію. Вже у XVIII столітті за наказом короля вся територія Франції було виміряно і описано картографами з допомогою методу тріангуляції — це вид виміру, основу якого поділ наявної великої площі невеликі трикутники. Навіть зараз тригонометричні функції є частиною системи GPS. Іншими словами, тригонометричні функції були частиною нашого життя понад 2000 років тому — і залишаються такими й досі.
Конус
Тепер звернемося до конуса . Конус – об’ємна фігура, в основі якої лежить коло і яка в розрізі є трикутником. Конус був винайдений математиком Апполінарієм у Єгипті 2000 років тому. Крім того, Апполінарій описав конічні перерізи. Багато століть конус і конічні перерізи вважалися вершиною стародавньої математичної думки — красивою абстракцією математичної без будь-якого практичного функціоналу. Однак багато століть пізніше було виявлено відразу дві області застосування конічних перерізів. Кеплер виявив, що планети рухаються орбітами, що мають форму еліпса, а Галілей відкрив, що кинуте тіло рухається параболою. І еліпс, і парабол є конічними перерізами.
У наші дні параболи використовуються в лампочках розжарювання, оскільки це геометрична форма, яка найефективніше відбиває світло. Також у формі параболу будують сонячні батареї, тому що вони добре збирають тепло.
Параболоїд – єдина форма, яка здатна відображати звукові хвилі в заданому напрямку, тому вони використовуються для будівництва антен.
Після того, як Декарт винайшов двовимірну систему координат, стало очевидним, що будь-яке квадратне рівняння може бути графічно зображене у вигляді параболи. Так вперше в історії було виявлено перетин алгебри та геометрії, які до цього вважалися окремими дисциплінами. З’явився новий напрямок математики — номографія, яка стала використовувати геометрію для розв’язання рівнянь алгебри. Конічні перерізи є найбільшою спадщиною давніх греків. Незважаючи на свою простоту, вони були і залишаються найважливішою частиною нашого світу.
Число Пі та коло
Математика як наука є вічним пошуком досконалості, ясності і точності. Проте є одне загальновідоме математичне поняття, що вибивається із цих принципів і порушує гармонію. Це число Пі. Подумайте самі. Адже для того щоб його знайти, ми використовуємо діаметр. А діаметр — це не що інше, як штучно створена лінія, яка є подвійним радіусом. Радіус – ось що по-справжньому важливо для кола, діаметр ж є поспіхом спорудженої другорядної конструкцією. Саме тому кілька років тому математик Майкл Хартл запропонував відмовитися від Пі на користь числа т (тау), що виходить при розподілі довжини кола на радіус. У тау є як прихильники, так і противники, але ніхто не може заперечувати, що радіус — з точки зору математики — набагато важливіше і красивіше поняття, ніж діаметр.
Взагалі, коло – це одна з перших геометричних фігур, відомих людству. І це одна з тих фігур, значення яких у житті важко переоцінити. Коло – це колесо. Однак і окрім самого колеса спостереження за обертанням кола дало людству багато цінної інформації. Наприклад, відкриття циклоїди (траєкторії, яку малює задана точка на колі при її обертанні) призвело до розвитку хвильової теорії. А відкриття законів, яким підкоряються звукові хвилі, дозволило вдосконалити музичні інструменти, призвело до відкриття акустики та прориву у сейсмології. Так винахід колеса призвело зрештою до того, що вчені можуть тепер передбачати землетруси і вчасно евакуювати населення.
експонента
Ще одне найважливіше математичне поняття, яке ми використовуємо у повсякденному житті – це експонента . Експоненційне зростання – це закономірність, при якій чим більше стає величина, тим швидше вона зростає. Уявімо, що в пляшці міститься одна бактерія. Через певний проміжок часу вона розмножується і перетворюється на дві. Потім дві стають чотирма і таке інше. Кількість бактерій постійно подвоюється. Очевидно, коли бактерій всього 4 або 16, до наповнення пляшки ще дуже далеко. Але до числа 65792 бактерій – всього 17 кроків.
Зростання за експонентом підпорядковується « правилу сімдесяти двох »: величина, що росте на х відсотків у рівні проміжки часу, подвоїться через 72/х проміжків. Експонентне зростання лежить в основі кредитної системи банків. А розпад експоненту використовується в ядерній фізиці, оскільки він описує процес розпаду ядра.
Уявна кількість
У давнину не існувало поняття негативних величин. І це логічно: адже спочатку цифри були винайдені для того, щоб порахувати якесь майно: худобу, заходи зерна тощо. Там ці величини використовувалися для запису боргів. З часом негативні величини з Індії перекочували на Захід, і врешті-решт почали використовуватися повсюдно. Однак лише у XVIII столітті математик Ейлер спробував витягти квадратний корінь з -1. До Ейлера подібна математична операція вважалася абсурдною і не має сенсу. Адже квадрат будь-якого числа має бути числом позитивним. Тобто числа, яке при зведенні у квадрат становитиме –1, не існує.
Однак Ейлер запропонував для опису таких неіснуючих чи уявних чисел ввести в математику поняття уявної одиниці (позначається як i). Уявна одиниця — це те число, яке у квадраті одно –1. Далі Ейлер вивів формулу, за якою √-n=(n)*i. На відміну від уявних чисел, звичайні числа Ейлер назвав речовими, а сума уявного та речового числа дає комплексне число.
До речі, уявні числа стали справжнім яблуком розбрату математики. І якщо частина вчених прийняла це нововведення та почала його використовувати, існували й ті, хто вважав цю ідею абсолютно абсурдною. До останніх належав Чарльз Лютвідж Доджсон, більш відомий як Льюїс Керролл. Вважається, що Божевільне чаювання в книзі «Аліса в країні чудес» є сатирою на Ейлера та його уявні числа.
Винахід уявних чисел зрештою призвело Ейлера до створення тотожності, відомого як тотожність Ейлера : ei Пі +1 = 0. У цьому тотожності видно всю стрункість і красу математики, оскільки вона об’єднує у собі всі п’ять найважливіших математичних констант: e — основа натурального логарифму, i — уявна одиниця, Пі — число пи, і навіть 1 і 0.
Уявні числа призвели до розширення поняття числа, яке протягом тисячоліть залишалося незмінним, а також розірвало зв’язок, що вважався непорушним, між числами та їх значенням. З’ясувалося, що число не обов’язково має бути сповнене логічним змістом, який можна пояснити. І це означає, що математики отримали можливість описувати нові явища.
Новаторство Ейлера спонукало Гамільтона до думки створити просторову систему координат, щоб описати обертання у просторі. Гамільтон з’ясував, що створити математичні правила для векторного простору розмірністю 3 неможливо, однак за розмірності 4 це допустимо. Тому новий напрям алгебри, що з’явився, назвали кватерніонним. Кватерніони використовуються в комп’ютерній техніці та аеронавтиці.
Проте внесок Ейлера у розвиток науки не обмежується значними відкриттями, які вже перераховані. Крім поштовху, що його ідеї дали математичної науці, варто згадати і ще одне, більш практичне відкриття. Ейлер вплинув життя кожного з нас, коли винайшов клотоїду — крива, у якої кривизна зростає пропорційно дузі. Тобто що довша спіраль, то вона менш загнута.
Справа в тому, що раніше всі дороги, у тому числі залізниці, були поєднанням прямих ліній і кіл. Відповідно, при повороті, тобто за заході в коло, транспортний засіб починало відчувати на собі вплив відцентрової сили. Чим швидше рухається, припустимо, поїзд, тим більше пасажири відчувають на собі дію відцентрової сили — і тим небезпечнішим і неприємнішим стає поворот. Якщо ж коло замінити на клотоїду, плавнішу лінію, відцентрова сила зникає або її дія згладжується. Таким чином, появою високошвидкісних трас і залізниць ми зобов’язані Ейлеру та його клотоїді – без неї ми ніколи не змогли б рухатися швидше за перші моделі паровозів без небезпеки для життя. Клотоїда, до речі, використовується і для будівництва «американських гірок».
Висновок. Хто зайнятий описом математичної думки
Евклід, давньогрецький математик, увійшов історію як перший вчений, який описав основні математичні методи. Його «Елементи» — книга, яка пережила чи не більше перевидань усіма мовами світу, ніж Біблія. Він жив у III столітті до нової ери і поставив стандарт для всієї математичної науки на тисячоліття вперед. Лише у XIX столітті математики почали писати про те, що «Елементи» містять деякі неточності та нелогічності. Наприкінці XIX століття німецький вчений Фреге зробив першу спробу заново описати математичну логіку, проте ця спроба була не надто вдалою, тому що у своїй праці він припустився парадоксу, та й сама праця була надто складною та об’ємною.
Нині найбільш впливовим методологом математики є Нікола Бурбакі . Насправді Бурбаки — це не одна людина, а колективний псевдонім, який взяла собі група математиків, яка в 1935 році заснувала математичне суспільство. Мета цього суспільства – створення серії книг, що описують сучасний стан математики. Бурбаки працюють досі. Суспільство підпорядковується зведенню суворих правил. Зокрема, кількість членів у ньому фіксована. Щойно один із членів досягає 40 років, він виходить із товариства, і обирається нова кандидатура. Це правило дає суспільству постійний приплив свіжої крові та дозволяє не стояти на місці. Суспільство є таємним — формально жоден із членів суспільства не має права розкривати стороннім своє членство. Кожен написаний Бурбаки шматок чергового тому зачитується в присутності всіх членів товариства, і кожен член повинен узгодити будь-який написаний рядок. Тому не дивно, що, незважаючи на майже сторічну працю, справу Бурбаки ще не завершено. Однак його члени вірять у те, що більшу частину шляху вже пройдено. Праця Бурбаки зветься «Елементи математики» і виходить частинами.
Багатьом може здатися, що робота Бурбаки та інших теоретиків математики немає сенсу, проте це негаразд. Математика – жива і динамічна наука, вона впливає на всі сфери нашого життя, вона описує будь-які явища, від руху транспорту та динаміки зростання міст до швидкості поширення водоростей у водоймі.
Людство в майбутньому потребуватиме все більш досконалих технологій, тому так важливо, що математична думка не стоїть на місці і служить імпульсом і базою для прогресу.